Всего: 26 1–20 | 21–26
Добавить в вариант
В равногранном тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что получившийся многогранник прямоугольный параллелепипед.
и 
Тог да основания медиан задаются формулой 
и аналогичными ей, а середины медиан формулой 
Рассмотрим первые два вектора. Введём дополнительные обозначения 
и 
Тогда нам нужно доказать, что 
то есть, что скалярное произведение этих векторов равно 0. Их скалярное произведение это 
а равенство его нулю равносильно равенству 
и 
то есть равенству длин 
и 
Но это равенство означает, что два противоположных ребра тетраэдра равны, что следует из равногранности тетраэдра. Перпендикулярность остальных пар векторов доказывается аналогично.В ортоцентрическом тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что в получившемся многограннике все рёбра имеют равную длину.
и 
Отсюда полу чаем 
Вспоминая, что такое 
полу чаем 
что и требовалось доказать.
аналогичные обозначения введём для остальных рёбер.
и 
Заметим, что отрезок 
средняя линия в треугольнике 
значит, он равен половине ребра 
по длине и параллелен этому ребру. Но то же самое можно сказать и про ребро 
значит, эти отрезки параллельны и равны, т. е. образуют параллелограмм. Таким образом, четыре вершины, которые должны образовывать правильный тетраэдр, оказались лежащими в одно й плоскости. 
и 
—
а значит, подобен ему с коэффициентом 
откуда 
Кроме того, 
и 
так как 
и 
средние линии в треугольниках ABD и ACD соответственно. 
(и, очевидно, треугольника 
—
в то же время 
составляет 
от медианы треугольника 
Кроме того, они перпендикулярны, так как 
Найдите ребра исходного тетраэдра.
Треугольник 
а значит, подобен ему с коэффициентом 
Кроме того, 
и 
так как 
в то же время 
Kpoме того, они перпендикулярны, так как 
Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера 
касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, CD, и при этом касается ребра CD в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра A1D1. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы 
и ABCD — перпендикулярны, поэтому 
является прямоугольником. В этот прямоугольник можно вписать окружность (сечение сферы плоскостью 
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром BC. Отрезки CK и CF равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина BC и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами AD через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью ABCD, 
прямоугольный, 
—Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, C1D1, и при этом касается ребра C1D1 в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра AD. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром 
Отрезки 
и 
равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина 
и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами 
через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью 
прямоугольный, 
равна 
На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, что 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
—
то сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок 
и 
(касание означало бы, что 
и отсюда следовало бы, что плоскости 
и 
притом последней в точке, лежащей на ребре 
Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, 
находим, что 
тогда высота равна радиусу сферы (т. к. центр сферы лежит в грани 
Площадь основания равна 
На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
и 
Значит, 
Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD. Плоскости 
и 
перпендикулярны B1D и проходят через вершины A и D1 соответственно. Пусть F и H соответственно — точки пересечения плоскостей 
и с диагональю B1D, при 
а) Найдите отношение B1H : DF.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 3 касается всех боковых граней призмы, а
также плоскостей и 
Найдите отрезок B1D и объём призмы ABCDA1B1C1D1.
плоскость 
и DF — проекции параллельных отрезков 
и DO на прямую 
причём 
Значит, 
Кроме того, 
поэтому 
Обозначим 
Поскольку 
—
то 
Тогда 
и 
откуда 
и 
(поскольку 
Наконец, высота призмы равна 
Дана правильная призма KLMNK1L1M1N1 с основанием KLMN. Плоскости и 
перпендикулярны L1N и проходят через вершины K и N1 соответственно. Пусть A и B соответственно — точки пересечения плоскостей и с диагональю L1N, при этом AN < BN.
а) Найдите отношение L1B : AN.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей и 
Найдите отрезок L1N и объём призмы KLMNK1L1M1N1.
плоскость 
и AN — проекции параллельных отрезков 
и NO на прямую 
причём 
Значит, 
Кроме того, 
перпендикулярен α, этим расстоянием является отрезок AB, поэтому 
Поскольку 
—
то 
Тогда 
откуда 
то есть 
поскольку 
Наконец, высота призмы равна 
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Сфера с диаметром BC пересекает рёбра AC и AB соответственно в точках P и Q, отличных от вершин призмы. Отрезки B1P и C1Q пересекаются в точке T, и при этом 
а) Найдите угол TPA.
б) Найдите отношение AP : CP.
в) Пусть дополнительно известно, что AC = 3. Найдите объём призмы.
(т. е. BP и CQ — высоты треугольника ABC). Прямая BP — это проекция прямой TP на плоскость основания, при этом BP перпендикулярна PA. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах TP перпендикулярна PA, т. е. 
и 
пересекаются, то все четыре точки 
и Q лежат в одной плоскости (назовём её α). Значит, прямые PQ и 
Значит, PQ и BC — параллельны. Трапеция PQBC вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании BC равны, и поэтому треугольник 
и PQT подобны по двум углам. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
поэтому оба треугольника 
соответственно. Значит, 
то 
объём призмы равен 
Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 12. Сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы. На отрезках AA1 и BB1 выбраны соответственно точки K и L такие, что KL и AB — параллельны, а плоскости KBC и LA1C1 касаются сферы Найдите объём призмы и длину отрезка AK.
Значит, сторона основания равна 
площадь основания 
лежат на отрезках LQ и 
где точки Q и 
— середины ребер AC и 
Обозначим центр окружности 
получающейся в сечении сферы данной плоскостью, через O, а точки касания отрезков 
с окружностью — G, P и J соответственно. Высота LH треугольника 
равна высоте треугольника, лежащего в основании призмы, то есть 
треугольника 
и 
Следовательно, 
Обозначим 
тогда 
Тогда формула Герона даёт, что 
откуда 
следовательно, 
или 
или 
а так как 
или 
Остаётся заметить, что 
или 
Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6. Сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы. На отрезках AA1 и BB1 выбраны соответственно точки M и K такие, что KM и AB — параллельны, а плоскости ACK и MB1C1 касаются сферы 
Найдите объём призмы и длину отрезка BK.
площадь основания 
Из того, что призма правильная, а сфера касается всех её граней, следует, что плоскость 
также касается сферы; при этом точки касания сферы с плоскостями 
и 
и 
где точки Q и 
и KQ с окружностью — G, J и P соответственно. Высота 
треугольника 
равна высоте треугольника, лежащего в основании призмы, то есть 
и 
Следовательно, 
Обозначим 
Тогда формула Герона даёт, что 
откуда 
следовательно, 
или 
Тогда 
или 
а так как 
или 
В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором AC = 4 и угол 
Сфера проходит через вершины D, A, B, B1, C1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки B, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника ABD, т. е. точка H совпадает с точкой C. Таким образом, отрезок 
перпендикулярен плоскости основания 
Аналогично доказывается, что отрезок 
перпендикулярен плоскости 
Итак, диагональ 
является высотой призмы, а центр сферы O — это её середина. Поэтому 
известны гипотенуза 
и катет 
Значит, 
В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором 
и угол 
Сфера проходит через вершины D, C, B, B1, A1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки A, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника CBD, т. е. точка H совпадает с точкой C. 
перпендикулярен плоскости 
является высотой призмы, а центр сферы O — это её середина. Поэтому 
и катет 
Значит, 
На каждую грань куба установлена правильная 4-угольная пирамида, основанием которой является эта грань куба. Все пирамиды равны.
а) Могут ли боковые ребра трех пирамид, исходящие из одной вершины куба, лежать в одной плоскости? Если это возможно, найдите высоты таких пирамид, выразив их через длину α ребра куба. Если это невозможно, приведите доказательство.
б) Могут ли указанные в п. а) тройки ребер лежать в плоскостях (каждая тройка — в своей плоскости) одновременно для всех вершин куба?
лежит в плоскости AXY, основание пирамиды с вершиной 
—
высота пирамид равна h. Тогда координаты вершин пирамид будут 
(т. е. на диагональ AB проецируется вершина 
В силу симметрии сумма векторов 
будет лежать в плоскости ABY. В этой же плоскости лежит вектор 
Если вершины O1, O2, O3 лежат в одной плоскости, то пересечением этой плоскости с плоскостью ABY должна быть прямая.
коллинеарные.
откуда либо 
либо 
Первый корень не подходит согласно геометрическому смыслу h. 
Ответ на вопрос Б) очевиден в силу симметрии. Даны две шестиугольные пирамиды и одна треугольная, причем боковые грани всех пирамид одинаковы. Пирамиды удалось склеить внешним образом «без зазоров», то есть так, что любые две пирамиды имеют общую грань. Найдите плоский угол при вершине пирамид.
и ψ — углы между боковыми гранями соответственно шестиугольной и треугольной пирамид. Пересечем всю конструкцию плоскостью, перпендикулярной ребру BS. В сечении получатся три плоских угла, равных углам между боковыми гранями пирамид, то есть 
и ψ. Ввиду отсутствия «зазоров» 
откуда 
O —
так как треугольники ASB и BSC равны. 
Тогда по теореме косинусов 
?
и 
Такой прямоугольный параллелепипед легко умещается в коробке с размерами 
следовательно, указанная плоскость задается уравнением 
Рассмотрим один из 125 кубиков. Пусть ближняя к точке O вершина имеет координаты 
где целые числа k, m, n удовлетворяют неравенствам 
и 
Дальняя от точки O вершина имеет координаты 
получаем лишь три варианта: 
или 
Вычислим количество кубиков каждого из трех типов. 
Перечислим способы разбить 5 на три слагаемых, и укажем количество различных перестановок этих слагаемых: 
то 
относительно центра куба — всего 18. 
